Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

Warum der Klassiker unter den neoklassischen Produktionsfunktionen die ökonomische Forschung im Sturm eroberte und trotzdem kritisiert wird.

Andreas Neinhaus

Publiziert: 21.07.2014, 11:00

Wenn das Staatssekretariat für Wirtschaft in Bern eine Studie in Auftrag gibt, um die Folgen der Immigration zu erforschen, die Schweizerische Nationalbank anhand der Taylor-Regel die eigene Zinspolitik untersucht oder das Statistische Amt der EU die strukturellen Defizite der Eurostaaten berechnet:

In allen Fällen liegt den Analysen eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion zugrunde.

Sie ist eine der am meisten verwendeten ökonomischen Formeln überhaupt. Selten explizit erwähnt und deshalb in der breiten Öffentlichkeit kaum bekannt, aber dafür umso selbstverständlicher in Modellen eingesetzt. Kein Konjunkturzyklus wird ohne sie nachgezeichnet. Ohne Cobb-Douglas geht nichts in der empirischen Makroökonomie. Dennoch ist das Theorem seit Jahrzehnten genauso umstritten, wie es beliebt ist.

Sieg im Preisausschreiben

Alles begann im Jahr 1926. Amerikas Wirtschaft boomte. In New York kletterten die Immobilienpreise erstmals auf 7 $ pro Quadratmeter. Die Route 66 wurde eröffnet. Technologische Meilensteine, wie der Tonfilm, wurden erstmals getestet.In diesem Klima des wirtschaftlichen Aufbruchs und des erfolgreichen Unternehmertums wollte auch der erfolgreiche Stoff- und Anzughersteller  Hart Schaffner & Marx – nach eigenen Angaben Erfinder von Hosen mit Reissverschluss – nicht nachstehen.

Die Firma schrieb einen Wettbewerb für die beste wissenschaftliche Studie aus.

Paul Douglas, ein junger Dozent an der Universität Chicago, schickte seine Untersuchung über Reallöhne in den USA ein und gewann den mit 5000 $ dotierten Preis. Angespornt durch den Erfolg, begann Douglas die komplexe Studie zu einem Buch umzuschreiben. In dieser Phase stiess er auf den empirischen Zusammenhang, aus dem ein Jahr später die berühmte Produktionsfunktion wurde.

Für eine Vorlesungsreihe am Amherst College hatte der 25-Jährige akribisch die Daten für die Produktion, die Arbeitnehmer und den Kapitalstock der amerikanischen Verarbeitungsindustrie der Jahre 1899 bis 1922 zusammengetragen. Ihm fiel auf, dass der Index der Produktion während des gesamten Zeitraums ziemlich exakt zwischen den beiden anderen verlief: stetig circa auf einem Viertel bis einem Drittel des relativen Abstands zwischen dem tieferen Arbeitsindex und dem höher gelegenen Kapitalindex.

Douglas rief den Mathematikprofessor des College, Charles Cobb, zu Hilfe, um herauszufinden, wie man diesen Zusammenhang in eine allgemeingültige mathematische Formel umwandeln könnte. Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist das Resultat. Sie wurde erstmals 1927 am Jahrestreffen der Amerikanischen Volkswirtschaftsgesellschaft AEA vorgestellt und ein Jahr später in dem Aufsatz «A Theory of Production» publiziert.

Produktionsfunktionen

Wie bei einem Unternehmen (Mikroökonomie) nachgezeichnet werden kann, welche Produktionsfaktoren wie eingesetzt werden, um ein Produkt herzustellen, lässt sich das auch für die Gesamtwirtschaft (Makroökonomie) untersuchen. Allerdings werden hierzu hypothetische Beziehungen verwendet und wird viel stärker abstrahiert als bei einer mikroökonomischen Firmenanalyse. Schliesslich müssten sämtliche Einzelproduktionen eines Landes – vom Verkauf von Mittagessen in Restaurants bis zur Fertigung von Autos – in ihre Komponenten aufgebrochen und anschliessend aggregiert werden. Da das nicht möglich ist, verlässt man sich auf hypothetische Formeln. Die einzige Anforderung: Sie müssen die Realität so exakt wie möglich abbilden.

Mithilfe von Produktionsfunktionen lässt sich vor allem schätzen, wie leicht es ist, die Produktionsfaktoren – typischerweise Arbeit und Kapital – zu variieren, ohne den Produktionsausstoss zu verändern. Ökonomen sprechen von der Elastizität der Substitution. In der Theorie lassen sich drei Typen unterscheiden. Zunächst die beiden Extreme: Im ersten Fall ist diese Elastizität gleich null. Egal, ob der Kapitaleinsatz von fünf Einheiten auf zehn erhöht wird, solange der Arbeitseinsatz zwei Einheiten beträgt, ist auch der Produktionsausstoss auf zwei Einheiten begrenzt. Diese Produktionsfunktion, die sich nach dem Wert des geringeren der beiden Faktoren ausrichtet, ist nach dem russisch-amerikanischen Nobelpreisträger Wassily Leontief benannt. Bei dem anderen Extrem, einer linearen Produktionsfunktion, ist die Elastizität unendlich gross. Arbeit und Kapital sind perfekte Substitute.

Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion liegt zwischen diesen Extremen: Arbeit und Kapital sind austauschbar, die Substitutionselastizität der beiden Produktionsfaktoren beläuft sich allerdings insgesamt auf eins. Steigt (sinkt) der Anteil  von Kapital, sinkt (steigt) entsprechend das Gewicht des Faktors Arbeit. Wird der Einsatz von Kapital und Arbeit also um einen bestimmten Prozentsatz erhöht, steigt auch der Ausstoss um diesen Prozentsatz.  Ökonomen sprechen von einer linear-homogenen Funktion und von konstanten Skalenerträgen.

«Humbug»

Es dauerte einige Jahre, bis das Theorem als Cobb-Douglas-Produktionsfunktion – als solche wurde es erst ab Ende der Dreissigerjahre bezeichnet – populär wurde. Dass dies geschah, ist vor allem auf seine Einfachheit zurückzuführen. Rüdiger Dornbusch und Stanley Fisher führen es in ihrem Standardwerk «Makroökonomik» entsprechend ein: «Diese Produktionsfunktion ist besonders populär, da sie leicht zu handhaben ist und weil sie für die empirische Beschreibung  der amerikanischen Wirtschaft gut passt.»

In den Fünfzigerjahren wurde sie dank Robert Solow zur wichtigsten Basis für Modelle zur Erklärung von Wirtschaftswachstum, ein neues Feld der neoklassischen Forschung, das in den folgenden Jahrzehnten immer populärer wurde.

Der spätere Nobelpreisträger fügte der Cobb-Douglas-Funktion, die das Produktionspotenzial nur mit Arbeit und Kapital erklärt, einen dritten Faktor hinzu: die totale Faktorproduktivität. Gemeint sind alle Restgrössen, die Wachstum generieren, wie der technische Fortschritt.

Anfang der Siebzigerjahre gelang dem jungen Ökonomen Anwar Shaikh die originellste und zugleich vernichtende Kritik an der Cobb-Douglas-Funktion. In seiner Dissertation wies er nach, dass das ökonomische Theorem in Tat und Wahrheit eine rein mathematische Identität darstellt. Es gehorche dem Gesetz der Algebra, sonst nichts, und lasse sich daher beliebig anwenden. Um das zu beweisen, speiste er ein Modell mit Zeitreihen, die das Wort «Humbug» buchstabierten. Er wies nach, dass die Cobb-Douglas-Funktion wie auch Solows Modell mit den «Humbug»-Reihen die gleichen altbekannten Resultate ergeben wie mit empirischen Daten aus der US-Wirtschaft.

Augen zu und forschen

Solow und seine Kollegen reagierten verständlicherweise sauer auf Shaikhs Kritik. Sie zwangen die Herausgeber des «Humbug»-Artikels, gleichzeitig eine Gegendarstellung zu publizieren. Die fiel geharnischt aus – vermochte jedoch das Experiment nicht zu widerlegen.  Die Zweifel am theoretischen Unterbau des berühmten Theorems sind seither nicht verstummt. Auch der Erfinderbonus für Cobb und Douglas hat an Glanz verloren, seit bekanntgeworden ist, dass Douglas letztlich nur eine Produktionsfunktion übernahm, die der schwedische Ökonom Knut Wicksel drei Jahrzehnte zuvor aufgestellt hatte.

Dem Erfolg in der Praxis tat all dies keinen Abbruch. Der Ökonom Kenneth Arrow baute die Cobb-Douglas-Funktion zwar in eine komplexere Version um, die theoretisch überzeugender ausfällt. Aber sie steht im Schatten des berühmten (Fast-)Originals. Gerade die Komplexität macht sie im täglichen ökonometrischen Einsatz beschwerlich, und Cobb-Douglas-Kalkulationen schneiden in statistischen Messverfahren meist besser ab. Bei aller berechtigten Kritik: Cobb-Douglas ist die unbestrittene Nummer eins in Wachstumsmodellen und Konjunkturprognosen. Selbst wenn das manchmal bedeutet, «Augen zu und forschen», wie der eine oder andere Ökonom selbstkritisch zugibt.

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